Dipende da molti fattori e seguono il Modello Ocse per evitare la doppia imposizione fiscale.
Le Convenzioni non sono tutte uguali, anche all'interno della Unione europea.
La Convenzione disciplina le modalità di tassazione: a scelta, in un paese o nell'altro, in entrambi, in uno solo con riconoscimento di un credito per le imposte pagate nell'altro.
Per avere una risposta valida per il tuo caso devi specificare il nome del Paese e andare a leggere la relativa convenzione con L'Italia.
Per saperne di più, puoi leggere in questo link.
Imposizione internazionale - 4 - Il modello di convenzione O.C.S.E. | Misterfisco
SE la "tua" badante è rumena puoi leggere in quest'altro link.
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In genere il cittadino comunitario che si trova stabilmente in Italia per lavoro per un periodo superiore a 3 mesi deve richiedere l'Iscrizione all'Anagrafe del Comune e per poter lavorare deve richiedere il il numero di codice fiscale. Superando i 183 giorni di residenza nello Stato, si considera residente fiscalmente in tale Stato.